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Interdisziplinäres Zentrum für Hochschuldidaktik - IZHD, Hamburg
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Texte
(Kapitel 4 - Seite 4 / 5)

Arithmetisches Mittel

Jeder weiß, was zu tun ist, wenn man eine Gruppe von Daten (sagen wir das Gewicht von 5 Personen) durch einen Wert beschreiben will: Man gibt den Durchschnittswert an, indem man alle Werte zusammenzählt (z.B. 72 kg + 81 kg + 63 kg + 104 kg + 78 kg = 398 kg) und diese Gesamtsumme durch die Anzahl der in die Rechnung eingegangen Werte teilt (398 kg : 5 Personen = 79,6 kg pro Person). Dieser durchschnittliche Meßwert heißt in der Statistik: Arithmetisches Mittel (abgekürzt AM).

Wir können also auch sofort die Berechnungsvorschrift für das Arithmetische Mittel angeben:

"Das Arithmetische Mittel ist die Summe der Meßwerte geteilt durch deren Anzahl."

Da wir das Arithmetische Mittel in fast allen - auch in komplizierteren - statistischen Verfahren brauchen, kommen wir nicht umhin, diesen statistischen Kennwert zu formulieren. Das geht recht gut unter Zuhilfenahme eines Zeichens, das so aussieht:

Dieses Summenzeichen bedeutet:
"Summiere alle Meßwerte xi von der i = 1. Vp bis zur n-ten Vp auf!"

Das AM einer Variablen x kürzen wir in der Formel mit ab und können damit folgende Formel schreiben:

Normalerweise werden wir das AM nicht aus der Urliste der Meßwerte berechnen, sondern hierzu die bereits tabellierte Häufigkeitsverteilung benutzen. Hierzu brauchen wir nur die Skalenwerte zu addieren, die wir vorher mit der Häufigkeit f multipliziert haben, denn:
Anstelle davon, daß ich 7 mal den Meßwert 4 addiere, kann ich natürlich einfacher 7 * 4 rechnen.

Damit ergibt sich eine zweite Rechenvorschrift für das AM, die der ersten natürlich äquivalent ist, d.h. bei gleichen Daten identische Ergebnisse liefert:

Das Arithmetische Mittel ist die Summe der mit
ihren Häufigkeiten multiplizierten Skalenwerte,
dividiert durch den Umfang der Stichprobe.

Formalisiert schreibt sich das so:

Diese Rechenvorschrift gilt für gruppierte Daten, d.h. für solche, die aus der Häufigkeitstabelle stammen, im Gegensatz zu ungruppierten Daten, die direkt aus der Urliste stammen.

Aus dem bisher Gesagten sollte klar geworden sein, daß die Berechnung des AM

  • Intervalskalenqualität und
  • stetige Verteilungen (alle Werte müssen möglich sein)

verlangt, oder daß diese Voraussetzungen zumindest theoretisch angenommen werden können.



 
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