multiple Korrelation

Das Beispiel, das wir zu Beginn verwendeten (Abitur und Test zur Prognose des Studienerfolges) und das Rechenbeispiel (Intelligenz und häusliche Arbeitsstunden zur Prognose des Studienerfolgs) sollte demonstrieren, wie b- bzw. ß-Koeffizienten als Ergebnis einer multiplen Regressionsanalyse interpretiert und verwendet werden können. Allerdings wurden bisher nur die Anteile der einzelnen Prädiktoren, nicht aber die Gesamtqualität der Prognose diskutiert.

Ebenso wie bei der einfachen Regression läßt sich die Qualität der Prognose über die Größe der Differenzen , also der Abweichungen zwischen den tatsächlichen und den über die Regressionsgleichung geschätzten Kriterienwerte beurteilen. Es gibt nun einen Weg, die Güte der Prognose auch bei der multiplen Regression über einen Koeffizienten zu bestimmen.

Die Berechnungsvorschrift für die Gewichte ist so festgelegt, daß die Fehlervarianz bei der Schätzung der Kriterienwerte minimal wird. Dieses Vorgehen nennt man 'Prinzip der kleinsten Quadrate'.

Im Kapitel 'Einfache Regression' wurden entsprechende Gedanken und Ableitungen ausführlich vorgeführt.

Die Regressionsgerade bekommt dadurch eine an den Daten orientierte, ideale Lage mit kleinst-möglichem Fehler. Wenn man also die Prädiktoren mit Hilfe der b-Gewichte kombiniert, kann man mit dieser quasi neuen, kombinierten Prädiktorvariablen das Kriterium bestmöglich vorhersagen.
Zur Überprüfung der Qualität dieser Prognose kann uns nun die multiple Korrelation dienen. Die multiple Korrelation (R) korreliert diese optimal kombinierten Prädiktoren insgesamt mit der Kriteriumsvariablen. R liegt zwischen 0 und 1. Negative Werte kommen nicht vor, da umgekehrte Zusammenhänge mit einzelnen Prädiktoren durch negative Gewichte ausgeglichen werden.

Wenn vor der Berechnung der multiplen Korrelation eine Regressionsrechnung mit Bestimmung von ß-Gewichten durchgeführt wurde, ergibt sich die multiple Korrelation nach folgender Formel:

Für den drei-variaten Fall können wir eine direkte Berechnungsvorschrift angeben (1 Kriterium, 2 Prädiktoren):

Dieser drei-variate Fall läßt sich leicht mit der Berechnungsvorschrift für ß aus der ersten Formel ableiten.

Die Interpretation von multiplen Korrelationen erfolgt ähnlich der Bewertung von einfachen (Produkt-Moment-) Korrelationen. So kann man auch hier einen gemeinsamen Varianzanteil zwischen den gewichteten Prädiktoren einerseits und der Kriteriumsvariablen andererseits über die Quadrierung von R_{y.12 ... m} angeben.

(multipler) Determinationskoeffizient = R²_y.123...m

Zur Anwendung der Formeln soll das Rechenbeispiel aus der Regressionsanalyse dienen. Da die Ergebnisse der Regressionsanalyse vorliegen, kann die erste Berechnungsvorschrift verwendet werden:

Aus Vollständigkeitsgründen soll auch die zweite Formel Verwendung finden:

(Der Unterschied ist sicherlich als Rundungsfehler abzutun). Man kann leicht erkennen, daß die gewichtete Zusammenfassung deutlich mehr gemeinsame Varianz des Kriteriums aufklärt als jeder einzelne Prädiktor allein (R²_y.12 = 68 % gegenüber r²_yl = 36 % bzw. r²_y2 = 10%).

Es ist weiter zu bemerken, daß keine bloße Addition der Varianzanteile stattfindet, sondern durch die gewichtete Zusammenfassung ein zusätzlicher Gewinn an gemeinsamer Varianz erreicht werden kann; d.h. auch bei nur 2 Prädiktoren kann eine multiple Analyse sinnvoll sein. Zusätzlich zu einer solchen Interpretation ermöglicht der multiple Korrelationskoeffizient im Vergleich mit anderen noch eine weitere bedeutsame Aussage. Wenn man mehrere Prädiktoren untersucht, dann kann man diese nacheinander in eine Regressionsanalyse eingehen lasen, um dann zu prüfen, ob die jeweilige Hinzunahme eines weiteren Prädiktors auch relevanten Erkenntnisgewinn bringt. Es ist also z.B. zu fragen, ob die Vorhersage eines Kriteriums durch 5 Prädiktoren eine merklich höhere multiple Korrelation bringt als eine durch 4 aus den 5 Prädiktoren. Allgemein formuliert lautet die Frage:

Was "deutlich größer" konkret heißt, kann man quasi naiv durch mehrere solcher Vergleiche festlegen. Es gibt auch statistische Tests für solche Prüfungen.