biseriale Korrelation

Wir haben bereits bei der tetrachorischen Korrelation das Problem kennengelernt, eine prinzipiell intervallskalierbare Variable aus meist meßtechnischen Gründen nur als Zweiklassenvariable vorliegen zu haben: Entweder konnte sie nur alternativ (z.B. hoch/niedrig) gemessen werden oder lediglich ranggeordnet (ordinalskaliert) und dann am Median in zwei Klassen (unter/über dem Median) aufgeteilt werden. Bei der tetrachorischen Korrelation unterliegen beide zu korrelierenden Variablen diesen Einschränkungen, bei der in diesem Kapitel zu besprechenden biserialen Korrelation ist eine Variable unecht dichotomisiert, die andere intervallskaliert gemessen.

Die Formel der biserialen Korrelation liefert eine Schätzung des Zusammenhangs zweier prinzipiell intervallskalierbarer Variablen, von denen eine jedoch nur mit dichotomisierten Daten vorliegt.

In dieser Formel haben die Abkürzungen die folgende Bedeutung:

Mittelwert in der intervallskalierten Variablen, berechnet nur aus den Personen, die im dichotomisierten Merkmal die ´höhere´ bzw. ´bessere´ Alternative haben (z.B. die über dem Median, oder ja-Beantworter etc.).

Mittelwert in der intervallskalierten Variablen berechnet aus der Gruppe mit den ´unteren´ Alternativen (niedriger, schlechter, unter dem Median, Nein-Sager, etc.).

Standardabweichung in der intervallskalierten Variablen, über alle Personen berechnet (wie bekannt!).

Prozentualer Anteil der Personen mit der
´höheren´ Alternative (z.B. 0,40).

Prozentualer Anteil der Personen mit der ´unteren´ Alternative (z.B. 0,60). (Wie man sofort sieht, muß gelten p+q = 1,00).

Ordinate des z-Wertes, an der die Standardnormalverteilung im Verhältnis p:q aufgeteilt wird. Das klingt kompliziert und wird deshalb für Interessenten im Anschluß noch näher erläutert. Für die konkrete Berechnung können die Werte von jedermann leicht einer Tabelle entnommen werden.

Beispielaufgabe:

50 Schüler werden zwei Tests unterzogen. Der erste Test ist ein Intelligenztest, der zweite ein Kreativtest. Von beiden Merkmalen wird angenommen, daß sie sich normal verteilen. Das Merkmal Kreativität wird in zwei Klassen aufgeteilt:

• über dem Median: ´hoch kreativ´,
• unter dem Median: ´niedrig kreativ´.

Stichprobe: 50 Schüler der vierten Klasse einer Hauptschule.

• Merkmal 1 (kontinuierlich) : Intelligenz (x)
• Merkmal 2 (eigentlich kontinuierlich, aber in zwei Klassen aufgeteilt) : Kreativität (y)

Die Ergebnisse werden in der folgenden Tabelle mitgeteilt, dabei bedeuten:

Spalte (1) : Intelligenzquotient,
Spalte (2) : Anzahl der Vpn mit dem entsprechenden Intelligenzquotienten, die als ´hoch kreativ´ eingestuft wurden,
Spalte (3) : Anzahl der als ´niedrig kreativ´ eingestuften Vpn,
Spalte (4) : Summe aus (1) und (2), d.h. Gesamtzahl der Vpn mit einem entsprechenden Intelligenzquotienten.

Diese Tabellendarstellung kennen wir schon aus der Berechnung der biserialen Korrelation:

IQ (1)	hoch kreativ (2)	niedrig kreativ (3)	Summe (4)
100 106 111 114 115 118 119 120 122 125	0 1 2 3 5 6 7 2 2 2	1 1 4 6 3 2 1 1 1 0	1 2 6 9 8 8 8 3 3 2
	np = 30	nq = 20	n = 50

Wir berechnen die folgenden Größen (bei p = hoch kreativ und q = niedrig kreativ):

117,33

113,80

4,63

0,60

0,40

Jetzt muß noch der Wert aus der Tabelle abgelesen werden. Die Tabelle ist so angelegt, daß man entweder mit p oder mit q in die erste Spalte einsteigen muß und dann in der gleichen Zeile aus der Tabellenspalte C den gewünschten Wert ablesen kann. Als Einstieg muß die größere der beiden Größen p oder q gewählt werden.

In unserem Fall ist p = .60 (also größer als q) und führt zu dem Wert: p*q/= 0,6212

Insgesamt ergibt sich:

r_bis = (117,33 -113,80) / 4,63 * 0,6212 = .474

In dem Beispiel zeigt sich also ein mittlerer bis geringer Zusammenhang zwischen der Kreativität und der Intelligenz von Schülern.

Auch bei der biserialen Korrelation interpretieren wir den Koeffizienten ohne das Vorzeichen wegen der Beliebigkeit, mit der die Alternativklassen mit p bzw. q bezeichnet werden können.

Wie kommt man zu bei der Berechnung von r_bis?

Als Voraussetzung für die Berechnung von r_bis wird eine eigentliche Normalverteiltheit des dann nur dichotom in die Berechnung eingehenden Alternativmerkmals gefordert. Diese Normalverteiltheit geht nämlich in die Berechnung von , damit also in r_bis ein.

Genau passiert bei der Bestimmung von folgendes: Wir wissen, daß unter der Kurve der Standardnormalverteilung (SNV) insgesamt eine Fläche von 1,00 liegt (sie läßt sich so definieren). Wir können nun durch die SNV eine Senkrechte genau so legen, daß sie die Fläche der SNV genau im Verhältnis von p:q aufteilt.

Diese Senkrechte schneidet die z-Werte in einem bestimmten Punkt, d.h. bis zu diesem bestimmten z-Wert liegen 60 % der Werte in einer SNV und darüber genau 40 %. Nun sagt die Höhe der SNV über bestimmten z-Werten etwas über die Häufigkeit des Auftretens dieser z-Werte aus (in einer theoretischen Verteilung muß es eigentlich heißen: ´über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens´):

• Werte aus der Mitte (um z=0) treten am häufigsten auf (z.B. mittlere Intelligenzwerte),
• Werte an den Rändern, sogenannte Extremwerte, treten dagegen selten (z.B. Schwachsinn oder Genialität).

Der von uns gesuchte -Wert ist nun die genaue Höhenangabe (=Ordinate) der SNV-Kurve über dem durch p und q bestimmten z-Wert: z = .25; die Ordinatenhöhe in diesem Punkt beträgt = .3867