Kendall's Tau

Bisher hatten wir es mit nominalskalierten Variablen oder mit künstlich dichotomisierten Variablen, von denen wir annehmen konnten, daß sie im Prinzip intervalskaliert messbar sind, zu tun. Jetzt wollen wir Zusammenhangsmaße kennenlernen für den Fall der Korrelation zweier ordinalskalierbarer Variablen.

Fragestellung:
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Variablen "Schulbildung" und "Schichtzugehörigkeit"? Die Frage nach der Schulbildung mit den möglichen Klassen "ohne Abschluß", "Volksschule", "Realschule", "Gymnasium", "Universität" und die Einschätzung der Schichtzugehörigkeit über den ausgeübten Beruf mit den Klassen "Unterschicht", "untere Mittelschicht", "obere Mittelschicht", "untere Oberschicht", "obere Oberschicht" liefert Maßzahlen mit Ordinalskalenqualität, da für jedes beobachtete Meßwertträgerpaar eine größer-,kleiner- oder gleich-Relation gilt.

Die Berechnung eines Rangkorrelationskoeffizienten ist deshalb vorzunehmen. Wir verwenden KENDALL's TAU.

Berechnungsprozedur:
Es werden Rangreihen für beide Variablen aufgestellt. Eine der beiden Variablen wird in ihre natürliche Rangfolge gebracht (1,2,3, ...,(N-1),N), die Rangplätze der gleichen Fälle in der anderen Variablen werden darunter geschrieben. So entsteht eine (für die 1. Variable) geordnete Rangreihe. In der 2. Rangreihe (der untergeordneten) wird nun für jedes mögliche Zahlenpaar ausgezählt, wie oft jeweils die Zahlen eines Paares in ´richtiger´ Ordnung (entsprechend ihrer natürlichen Reihenfolge, z.B. 1,4 oder 3,5) bzw. in ´falscher Ordnung´ (z.B. 3,1 oder 5,2) auftreten.

Ein Beispiel soll das erläutern:

Folgende Rohdaten von 5 Vpn mögen vorliegen:

Vp	A	B	C	D	E
Rangplatz in Schulbildung	4	1	5	3	2
Rangplatz in Schichtzugehörigkeit	5	3	4	1	2

N = 5

Der Berechnungsprozedur folgend ordnen wir die 5 Vpn entsprechend ihren Rangplätzen in der Variablen "Schulbildung" (wir hätten auch die andere wählen können).

Vp	B	E	D	A	C
Rangplatz in Schulbildung	1	2	3	4	5
Rangplatz in Schichtzugehörigkeit	3	2	1	5	4

Nun haben wir die Daten so geordnet, daß wir die Anzahl ´richtiger´ und ´falscher´ Zahlenpaare auszählen können:

B: 3-2; 3-1; 3-5; 3-4;
E: 2-1; 2-5; 2-4;
D: 1-5; 1-4;
A: 5-4.

Insgesamt überprüfen wir 10 Zahlenpaare. Für jede ´richtige´ Zahlenfolge zählen wir ein "Plus", für jede ´falsche´ Reihenfolge ein "Minus".

B: 3-2; 3-1; 3-5; 3-4;
­ ­ + +

E: 2-1; 2-5; 2-4;
­ + +

D: 1-5; 1-4;
+ +

A: 5-4
-

Wir zählen 6-Plus und 4-Minuszeichen, gegeneinander aufgerechnet ergibt sich die Summe S = 2. Diese Summe S wird bei der Berechnung von Tau in Beziehung gesetzt zur höchstmöglichen Summe dieser Art S_max.

S_max errechnet sich aus N(N-1)/2. Dieses ist leicht einzusehen, denn die Gesamtzahl von Paarvergleichen hängt nur von N (also der Länge der Rangreihe ab). Ist die zweite Rangreihe identisch mit der ersten (geordneten), so ergeben sich beim Paarvergleich nur `richtige´ Reihenfolgen und die Gesamtsumme des "Plus-Zeichen" ist gleich der Summe der insgesamt möglichen Paarvergleiche S_max.

Tau ergibt sich als TAU = S/S_max.

In unserem Beispiel ist S_max = 5*4/2 = 10.

TAU ist also gleich 2/10 = .5

Diese Berechnungsart kann nur dann angewendet werden, wenn innerhalb einer Rangreihe keine gleichen Rangplätze auftreten, d.h. also nicht mehrer Vpn den gleichen Rangplatz zugewiesen bekamen. Dieses wäre dann der Fall, wenn unter unseren 5 Vpn mehrere z.B. Abitur als Schulbildung gehabt hätten. Die Berechnung von TAU wird dann etwas komplizierter. Ein Beispiel findet sich in: FRÖHLICH/BECKER (1972).

Es soll noch darauf hingewiesen weden, daß TAU mit anderen Korrelationskoeffizienten nicht vergleichbar ist und daß in der Literatur häufig ein anderer Korrelationskoeffizient Anwendung findet, nämlich SPEARMAN´s RHO.

Ein anderer Nachteil von TAU ist der, daß bei gegebenen N TAU nur soviel Werte annehmen kann wie S_max+1 entspricht, in unserem Beispiel also 1; S hätte theoretisch die Werte -10, -8, -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6, +8, +10 annehmen können; eine ungerade Summe S kann es in diesem Fall nicht geben, da "Plus gegen "Minus" aufgerechnet wird.

Allgemein gilt:
Bei geradem N kann S nur gerade, bei ungeradem N nur ungerade Werte annehmen.
TAU kann also von vornherein in unserem Beispiel bei N = 5 nur .00, .20, .40, .60, .80 oder 1.00 werden; Zwischenabstufungen kann es nicht geben. Tau ist demnach nur ein äußerst grobes Maß.