Spearman's Rho

Nicht zuletzt wegen der Grobheit von TAU hat sich im deutsprachigen Raum ein anderer Koeffizient für Rangkorrelationen, nämlich SPEARMAN´s RHO, durchgesetzt.

Die Anwendung dieses Koeffizienten geschieht unseres Erachtens zu unkritisch. Wir wollen unsere Kritik verdeutlichen, nachdem wir uns mit der Formel und ihrer Anwendung vertraut gemacht haben.

Gegeben seien 6 Studenten a bis f mit den folgenden Mathematik-Zensuren:

a = 1.9
b = 2.0
c = 2.5
d = 2.7
e = 2.6
f = 3.4

Weiterhin sind die 6 Studenten vom Dozenten ihres Statistik-Kurses hinsichtlich ihrer Kenntnisse in Statistik in eine Rangfolge gebracht worden: b erhielt den besten Rangplatz (= beste Statistik-Kenntnisse); es folgen e, c, a, d; Student f´s Kenntnisse wurden am geringsten eingestuft. Wir sprechen den Zensuren Intervallskalenqualität ab und betrachten statt der Zensuren lieber die Rangplätze der Schüler bezüglich ihrer Noten.
In Tabellenform sieht das dann so aus:

Schüler	a	b	c	d	e	f
Rang Schulnote	1	2	3	4	5	6
Rang Doz.Ein-schätzung	4	1	3	5	2	6
D = Differenz zw. Rängen	3	1	0	1	3	0
D2	9	1	0	1	9	0

Ausgangsmaterial sind also zwei Rangreihen; wir suchen ein Maß, das uns etwas über die Ähnlichkeiten der beiden Rangreihen aussagt.

Die Formel zur Berechnung von RHO finden Sie hier wiedergegeben.

Wir setzen ein und erhalten:

Der kritische Punkt hierbei ist, daß mit Ordinaldaten arithmetische Operationen durchgeführt werden, die jedoch nur bei Daten mit Intervallskalenqualität Sinn ergeben.

Im Prinzip läßt sich RHO auf einen Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten zurückführen; er ist nämlich nichts anderes als die Produkt-Moment-Korrelation zwischen den ersten N natürlichen Zahlen (zur Herleitung s. SIEGEL, 1956, S. 203).

Aufgrund der angeführten Kritik sollte eigentlich KENDALL´s TAU der Vorzug gegeben werden. Die Interpretation eines TAU-Wertes macht jedoch Schwierigkeiten, weil er mit anderen Korrelationskoeffizienten nicht ohne weiteres vergleichbar ist.

Berechnen wir für das obige Beispiel KENDALL´s TAU, so ergibt sich ein TAU von .20, immerhin eine Differenz von .23. Bei größeren Stichproben (etwa bei N = 100) gleichen sich TAU und RHO fast vollständig an, die Berechnung von TAU per Hand erfordert allerdings bei so großen Stichproben Zeit und Muße {immerhin reichen die Rangreihen bei einer Hunderter-Stichprobe von 1 bis 100!)