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Texte (Kapitel 11 - Seite 2 / 4) Einführung in die FaktorenanalyseMit der Faktorenanalyse (FA) werden wir ein Verfahren kennenlernen, das eine Vielfalt von Variablen aufgrund der Analyse der Interkorrelationsmatrix ordnet und zu Clustern gruppiert. Unter einem Cluster verstehen wir eine Gruppe von einander in gewissem Sinne ähnlichen Variablen. An diese Cluster werden in der FA gewisse Bedingungen gestellt. Als Voraussetzungen für die Anwendung des Verfahrens verlangen wir allerdings dieselben, die für die Berechnung der Produkt-Moment-Korrelation Bedingung sind. Das Modell der Faktorenanalyse Wir betrachten wiederum das Beispiel aus dem vorigen Kapitel: Wir haben 7 Variablen mit Hilfe der Korrelationen untereinander in zwei Gruppen aufgeteilt. Die Variablen bezeichnen wir im folgenden mit x1 bis x7, eine beliebige der sieben Variablen wird mit xj bezeichnet. Der Meßwert einer Versuchsperson i in der Variablen xj soll als xij bezeichnet werden. Also ist x2,5, der Meßwert der Antwortperson 2 in der Variablen 5 und so weiter.Die Korrelation zwischen der Variablen xj und einer weiteren Variablen xk heißt rjk. Wir wollen nun ein erstes Modell formulieren, das uns eine zunächst vorläufige Vorstellung geben soll. Die Gruppenaufteilung der Variablen bedeutet, daß die Antwortpersonen (oder Versuchspersonen) auf die zu einer Gruppe gehörenden Variablen ähnlich reagieren. Wir können uns vorstellen, daß der Meßwert einer Versuchsperson i in einer Variablen j aus zwei Komponenten zusammengesetzt ist: -aus dem Ausmaß, in dem die zu den Variablen einer Gruppe gehörende Gemeinsamkeit für die Versuchsperson von Bedeutung ist und - aus einer speziell diese Variable betreffenden Komponente. Bezeichnen wir diese gemeinsame Komponente mit f und den spezifischen Anteil mit u, können wir schreiben: xij = fi + uj Die Indizierung soll verdeutlichen, daß der 'Meßwertteil' f, der die Gruppengemeinsamkeit bezeichnet, abhängt von der jeweiligen Versuchsperson i und dem spezifischen Anteil der Variablen j. Bei allen zu einer Gruppen gehörenden Variablen ist ein Teil des Meßwertes pro Versuchsperson gleich, nämlich fi. Die Varianz aller dieser Variablen kann also zum Teil auf die Varianz einer Variablen zurückgeführt werden: sj2 = sf2 + su2 Mit Hilfe dieses noch sehr groben und wenig präzise formulierten Modells kann aber schon plausibel gemacht werden, warum die Korrelationen zwischen den Variablen einer Gruppe besonders hoch sind. Natürlich ist dieser gemeinsame Anteil f nicht eigentlich eine Variable; sie ist ja nicht gemessen und auch gar nicht wirklich, sondern nur eine Annahme in unserer Modellüberlegung. Dieser, allen zu einer Gruppen gehörenden Variablen gemeinsame, Varianzanteil bewirkt natürlich eine Erhöhung der Korrelationen zwischen den Variablen. Gehen wir davon aus, daß die spezifischen Anteile der Variablen nichts miteinander zu tun haben (also unkorreliert sind), kann die Korrelation rjk folgendermaßen ausgedrückt werden:
In die Covarianz geht nur der gemeinsame Varianzanteil ein, da die Covarianz der spezifischen Anteile = 0 ist; in das Produkt der Varianzen gehen nur die spezifischen Anteile ein, der gemeinsame Anteil fällt heraus. (Auf eine präzisere mathematische Formulierung soll hier bewußt verzichtet werden.) Je größer der gemeinsame Anteil zweier Varablen im Verhältnis zu den spezifischen Anteilen ist, desto größer ist die Korrelation. |
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