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Texte (Kapitel 11 - Seite 1 / 4) Multivariate VerfahrenNachdem wir die Beschreibung einer Variablen kennengelernt haben und sehen konnten, wie der Zusammenhang zwischen zwei Variablen (die gemeinsame Variation) beschrieben werden kann, soll jetzt der Blick erweitert werden auf die Betrachtung von drei oder mehr Variablen gleichzeitig. Wir sprechen dann von multivariater Statistik. Wie bereits im bivariaten Fall geht es uns in erster Linie um die Zusammenhänge der Variablen untereinander, also um ihre gemeinsame Variation, und deshalb sind die Korrelationen der Variablen der Ausgangspunkt unserer Überlegungen. Dabei betrachten wir hier lediglich solche Verfahren, die auf Produkt-Moment-Korrelationen beruhen, d.h. wir beschränken uns auf Variablen, die intervallskaliert und hinreichend symmetrisch um ihr Arithmetrisches Mittel verteilt sind. Für solche Fälle, in denen diese Bedingungen nicht erfüllt sind, sind die dafür geeigneten Verfahren wesentlich komplizierter und in der empirischen Literatur noch sehr selten vertreten, so daß eine Behandlung dieser Methoden den Rahmen einer Einführung sprengen muß. Wir beginnen am besten mit einem einfachen Beispiel:
Diese Items sind auf einer 5-stufigen Skala (Zustimmung - Ablehnung) beantwortet worden, die Daten erlauben die Berechnung von Produkt-Moment-Korrela-tionen. Wir erhalten also zwischen je zwei Variablen eine Korrelation und ordnen die Korrelationen in einem Schema wie folgt an:
Dieses Schema werden wir in Zukunft als Interkorrelationsmatrix bezeichnen ('Matrix' heißt zunächst nichts anderes als 'rechteckige Anordnung von Zahlen'). Weil ja jede Variable mit jeder anderen korreliert wird, ist die Interkorrelationsmatrix quadratisch. Sie hat in unserem Fall sieben Zeilen und Spalten, also 49 Korrelationen. Im Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und Spalte ist genau die Korrela-tion zwischen den beiden entsprechenden Variablen abzulesen. Von den 7 x 7 = 49 Korrelationen der Matrix sind 7 uninteressant,
es sind dies die Korrelationen jeder Variablen mit sich selbst,
und die sind natürlich immer gleich 1. Diese Korrelationen sind
in jeder Interkorrelationsmatrix in der Diagonale von links oben
nach rechts unten angeordnet, die wir als Hauptdiagonale bezeichnen.
Weiter stellen wir fest, daß die Korrelationen im oberen Teil
(oberhalb der Hauptdiagonalen) und im unteren Teil der Matrix
(unterhalb der Hauptdiago-nalen) sich entsprechen: Wir sagen, die Interkorrelationsmatrix ist symme-trisch zur Hauptdiagonalen. Daß dies so ist, kann nicht verblüffen, denn es ist ja in beiden Fällen dieselbe Korrelation zwischen denselben Variablen, die nur anders herum geschrieben wurde. Es verbleiben also (7 x 7 7) : 2 = 21 Interkorrelationen zwischen den 7 Variablen, die von Interesse sind. Wir können uns jetzt auch allgemein überlegen, wie-viele Korrelationen
bei einem Satz von M Variablen erzeugt werden können. ( M x M - M) / 2 Korrelationen. Aus diesem Ausdruck kann M dann ausgeklammert werden: (M x M - M) / 2 = M(M - 1) / 2 Anzahl der Korrelationen zwischen M Variablen: M(M - 1) / 2 Aus Vereinfachungsgründen stellt man oft nur den Teil der Interkorrelationsmatrix dar, der diese bedeutsamen Angaben enthält (man sagt dazu: die obere Dreiecksmatrix):
Das grundlegende Problem der Deskription multivari-ater Datensätze besteht nun darin, eine Vielfalt von Variablen so zu ordnen, daß sie überblickt werden können. Aufgrund der Zusammenhänge der Variablen, die jeweils paarweise berechnet werden können, sol-len die Variablen zu Gruppen zusammengefaßt werden. Im Fall unseres Beispiels sehen wir noch ziemlich leicht und ohne daß wir ein statistisches Verfahren anwenden, daß die Variablen 1 und 7 miteinander mehr korrelieren (.64) als mit den anderen 5 Variablen (.21 bis .58) und daß diese 5 untereinander höher korrelieren (durchschnittlich .64) als mit den beiden anderen Variablen 1 und 7 (durchschnittlich .41). Es liegt daher nahe, die 7 Variablen in zwei Gruppen zu sortieren, von denen die Variablen 1 und 7 die erste und die Variablen 2 bis 6 die zweite Gruppe bilden sollen. Die Variablen einer Gruppe korrelieren miteinander besonders hoch, was bedeutet, daß sie von einer Person in relativ ähnlicher Weise eingeschätzt wer-den und folglich untereinander ähnliche Inhalte erfassen.
Daß die Variable 5 (*) negativ korreliert ist, tut für die Zugehörigkeit dieser Variablen zur Gruppe nichts. Der Zusammenhang der Variablen ist nur absolut (also ohne Berücksichtigung des Vorzeichens) von Bedeutung. Wenn wir jetzt daran denken, daß 7 Variablen in der Psychologie und den Sozialwissenschaften eine recht kleine Variablenauswahl darstellen und daß 30 oder mehr Variablen durchaus als der Normalfall angesehen werden können, wird sofort einsichtig, daß
Bereits bei nur 30 Variablen steigt die Zahl der zu berücksichtigenden Korrelationen auf 30 x 29 : 2 = 110, auf mehr als das 4-fache an. Die multivariate deskriptive Statistik stellt deshalb Verfahren bereit, mit denen Interkorrelationsmatrizen übersichtlicher werden und mit denen Gemeinsamkeiten der Variablen untereinander statistisch herausgefunden werden können. |
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