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Interdisziplinäres Zentrum für Hochschuldidaktik - IZHD, Hamburg

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Textbook
(Chapter 5 - Page 1 / 3)

Zusammenhangsmaße

Bisher haben wir uns mit Kennwerten eindimensionaler (= univariater) Verteilungen beschäftigt. Es ging dabei um die Verteilung von Meßwerten einer Variablen über den Maßstab (= Skala), der zum Messen benutzt wurde.

Mit Zusammenhangsmaßen werden grundsätzlich zwei Variablen bzw. die Verteilung von Meßwerten zweier Variablen berechnet; man spricht in diesem Zusammenhang auch von bivariaten Verteilungen.

Wir erinnern noch einmal an das, was über Merkmale bzw. Variablen gesagt wurde:

Eine Variable heißt deshalb Variable, weil verschiedene Ausprägungsgrade dieser Variablen beobachtet (gemessen) werden können. In einer Schulklasse kann der Intelligenzquotient (IQ) der Kinder verschieden hoch, im Extremfall für jedes Kind anders gemessen worden sein. Daneben wird es eine Reihe anderer Merkmale (Variablen) geben, die ebenfalls variieren, z.B. das Alter, die Körpergröße, das Geschlecht, die Zensuren in den verschiedenen Unterrichtsfächern.

Betrachten wir einmal neben den IQ-Werten die Leistung von Kindern in einem Rechentest. Den Forscher (aber auch den Laien) wird es interessieren, ob die beiden Variablen "etwas miteinander zu tun haben", ob sie "miteinander zusammenhängen" oder wissenschaftlicher ausgedrückt, ob sie in ähnlicher Weise variiieren, ob sie gemeinsam variieren.

Gemeinsame Varianz oder gemeinsame Variation ist für das Verständnis von Zusammenhangsmaßen von grundlegender Bedeutung.

Was verstehen wir nun unter gemeinsamer Varianz? Das folgende Beispiel soll das verdeutlichen:

Nehmen wir einmal an, die Kinder einer Schulklasse haben einen Intelligenztest und einen Rechentest absolviert. Die dabei gemessenen Werte sind der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.

    Vp IQ RT

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    120

    118

    100

    102

    96

    90

    112

    115

    116

    104

    95

    108

    111

    119

    101

    10

    7

    4

    4

    1

    3

    6

    8

    8

    5

    4

    6

    7

    10

    5

durchschnittlicher IQ = 107

durchschnittlicher RT = 5.9

Übertragen Sie die Vpn-Meßwerte in ein graphisches Koordinatensystem, wobei die beiden Skalen (RT und IQ-Meßwertskalen) die x- und y-Achse bilden. Von graphischen Häufigkeitsverteilungen, wie Sie sie bisher kennengelernt haben, unterschiedet sich diese Graphik insofern, als daß Sie in diesem Fall die Werte von zwei Variablen in einer Zeichnung darstellen müssen.

Die Punkte in dieser bivariaten Häufigkeitsverteil-ung ergeben sich als Schnittpunkte der Lote, die auf der RT-Achse und der IQ-Achse jeweils in den entsprechenden Variablenwerten errichtet werden; sie bestimmen die Lage der Vp in dieser Fläche.

In dieser Zeichnung fällt auf, daß eher hohe Werte (bezogen auf den Mittelwert) in einer Variablen zusammen vorkommen mit ebenfalls eher hohen Werten in der anderen Variablen (Vp 1). Ebenfalls kommen offenbar eher niedrige Werte in einer Variablen mit eher niedrigen Werten in der anderen Variablen vor (Vp 5).

Nahe beim Mittelwert liegende Meßwerte einer Variablen finden sich zusammen mit mittleren Werten der anderen Variablen (Vp 15). Es läßt sich also verallgemeinernd formulieren: 

Je höher der IQ-Wert ist, desto höher ist auch der Punktwert im Rechentest und umgekehrt (je niedriger...).

Mit gleicher Berechtigung läßt sich aber auch sagen: Je höher der Punktwert im Rechentest ist, desto höher ist auch der IQ-Wert und umgekehrt.

Die Aussage "je ... desto" deutet nicht auf ein Ursache-Wirkungs-Verhältnis der beiden Variablen. Die Kausalitätsfrage: "Was bedingt was?" wird bei der Berechnung von Zusammenhängen zunächst nicht gestellt.

Der eben besprochene Sachverhalt wird nun als gemeinsame Variation zweier Meßwertreihen bezeichnet. Die beiden Meßwerte je einer Vp liegen auf den Meßwertskalen ähnlich; ähnlich bezogen auf ihre Lage zu ihrem Mittelwert. Je ähnlicher sich die Meßwertpaare auf den Skalen sind, desto höher ist der Anteil an gemeinsamer Variation.

Nun spricht man aber nicht nur dann von gemeinsamer Variation, wenn hohe Werte einer Variablen mit hohen Werten der anderen Variablen zusammen beobachtert werden (bzw. niedrige Werte der einen Variablen mit niedrigen Werten der anderen Variablen). Gemeinsame Variation ist auch dann vorhanden, wenn hohe Werte in einer Variablen mit niedrigen Werten in der anderen Variablen zusammenfallen (bzw. niedrige Werte mit hohen Werten). In solchem Fall liegt ebenso ein systematischer Zusammenhang wie im besprochenen Beispiel vor, lediglich die Richtung des Zusammenhangs ist eine andere.

Gemeinsame Variation ist nicht vorhanden, wenn hohe Werte in einer mit sowohl hohen als auch niedrigen Werten in der anderen Variablen vorkommen oder umgekehrt.

Ein Punkteschwarm einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung, der von links unten nach rechts oben verläuft, deutet immer auf einen positiven Zusammenhang hin. Ein Punkteschwarm, der von links oben nach rechts unten verläuft, deutet immer auf einen negativen Zusammenhang hin.

Die Enge des Zusammenhangs hängt davon ab, wie schmal die Punktewolke sich erstreckt (wie dicht die Punkte an einer durch die Wolke gedachten Geraden liegen); je schmaler (je "zigarrenförmiger") die Punktewolke, desto enger der Zusammenhang.

Eine kreisförmige Punktewolke deutet darauf hin, daß überhaupt kein Zusammenhang zwischen den Variablen besteht: Ein niedriger x-Wert kommt mit sowohl niedrigen, mittleren als auch hohen y-Werten vor, ein niedriger y-Wert mit sowohl niedrigen, mittleren und hohen
x-Werten (und jeweils umgekehrt).



 
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