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Interdisziplinäres Zentrum für Hochschuldidaktik - IZHD, Hamburg

IEE
   / Home / Textbook / Measures of Dispersion / Average Deviation


Textbook
(Chapter 4 - Page 2 / 6)

Durchschnittliche Abweichung

Die beiden Verteilungen der Abbildung auf der vorigen Seite der Übung zeigen, daß - besonders bei einem größerem Stichprobenumfang - der Range als Dispersionsmaß (Streuungsmaß) wohl zu grob ist:

Die dazugehörigen Verteilungen sind:

    xi f(xi)1 f(xi)2

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    10

    30

    40

    50

    40

    30

    10

    10

    10

    30

    70

    30

    10

    10

    AM

    Mod

    Median

    Range

    4

    4

    4

    6

    4

    4

    4

    6

Obwohl alle Lagewerte gleich sind und der Range ebenfalls gleich ist, obwohl die Verteilungsform in beiden Fällen eingipflig symmetrisch ist, unterscheiden sich die beiden Häufigkeitsverteilungen erheblich.

Wir suchen nun eine Maßzahl, die diesen Unterschied ausdrücken kann!

Die naheliegende Möglichkeit ist wohl, die Meßwerte bezüglich ihrer Dichte zum AM zu charakterisieren. In einem Fall liegen fast alle Meßwerte nahe am AM, im anderen Fall relativ viele Werte weit vom AM entfernt.

Wir werden also für jede Verteilung die Abstände der Meßwerte zum AM ermitteln und zusammenzählen. Wir machen dieses aus Übersichtlichkeitsgründen zunächst beim ersten Beispiel (das Alter der 2 mal 5 Gruppenmitglieder):

    Gruppe 1 Gruppe 2
    Alter Abstand vom AM Alter Abstand vom AM

    12

    14

    22

    40

    42

    14

    12

    4

    14

    16

    22

    24

    26

    28

    30

    4

    2

    0

    2

    4

Wir erhalten:

    Summe der Abstände Gruppe 1 = 60
    Summe der Abstände Gruppe 2 = 12.

Um die Zahlen handhabbarer zu machen und Vergleiche bei Gruppen mit verschiedener Mitgliederzahl (= verschiedener Stichprobenumfang) zu ermöglichen, relativieren wir die Gruppen, indem wir durch die Anzahl der Meßwerte teilen:

    Summe Gr. 1/Anzahl = 60 : 5 = 12

    Summe Gr. 2/Anzahl = 12 : 5 = 2,4.

Man sieht, daß sich durch diese Manipulation nichts ändert, die eine Maßzahl ist immer noch 5 mal so groß wie die der anderen Gruppen; wir haben quasi nur gekürzt. Das Maß, das wir durch diese Überlegung erhalten, heißt:

    " durchschnittliche Abweichung", "AD" (= Average Deviation).

Es ist definiert als:

    das Arithmetische Mittel der Abstände aller Meßwerte vom Arithmetischen Mittel dieser Meßwerte, d.h. die Summe aller Abstände geteilt durch die Anzahl der Meßwerte.

Als Formel schreibt sich das so:

Die "| |" bedeuten "Betrag von", d.h.wir betrachten die Differenz immer als positive Zahl, weil sich die (relativen) Differenzen zu Null aufsummieren.

Im Falle gruppierter Daten heißt die Formel analog:

In einem zweiten Beispiel berechnen wir die durchschnittliche Abweichung:

      1.Stichprobe   2.Stichprobe  

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    10

    30

    40

    50

    40

    30

    10

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    10

    10

    30

    70

    30

    10

    10

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    210

     

     

    170

     

     
      4   4
    AD 1,24   0,94  



 
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