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Interdisziplinäres Zentrum für Hochschuldidaktik - IZHD, Hamburg

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Textbook
(Chapter 6 - Page 2 / 5)

lineare Regression

Die Regressionsgerade kann also als eine Schätzfunktion aufgefaßt werden, mit der - bei gegebenen x-Werten - y-Werte berechnet werden können. Da es sich hier um eine Gerade handelt, ist die Funktion:

beschrieben, wobei a der Wert von y ist, der für die Ausprägung x = 0 geschätzt wird (der Schnittpunkt mit der y-Achse) und b ein Wert, der die Steigung der Geraden angibt: Je höher b zahlenmäßig ist, desto steiler verläuft die Regressionsgerade, d.h. desto geringere Veränderungen der unabhängigen Variablen bewirken desto größere Veränderungen der abhängigen Variablen.

Die Gerade soll nun bestmöglich angepaßt werden, d.h. die Fehler, die man bei der Schätzung macht, sollen möglichst klein sein. Als Fehler kann man die Differenz zwischen jedem Paar aus einem tatsächlichen Meßwert yi und dem dazugehörenden, aufgrund der Regressionsgleichung errechneten Schätzwert auffassen. Es wird gefordert, b genauso zu wählen, daß die Summe aller quadrierten 'Fehler' möglichst klein ist:

    = Minimum

was gleichwertig ist zu

    = Minimum

Daß man hier die quadrierten Fehler betrachtet (= Methode der kleinsten Quadrate), hängt damit zusammen, daß man einem Fehler mehr Gewicht zuerkennen will, je größer er ist. Ein Fehler von z.B. fünf Einheiten wird dann eben stärker ins Gewicht fallen als zwei kleine Fehler von z.B. 2,5 Einheiten (2,5 + 2,5 = 5 aber 2,52 + 2,52 < 52).



 
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